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公務員考試行測數學運算中，計數問題是一個?？伎键c，而這類問題也常出現困擾我們很多考生的難題。容斥問題看起來復雜多變，且題目中的等量關系常常也不是很容易找出來，所以，常常使得我們的考生朋友們在見到這類題目的時候會不知題目所云。

卓博教育專家針對容斥問題進行講解。容斥問題是解決集合與集合的交集問題的一類題目。而容斥問題的解題思路如它的名稱所言——先容后斥。

也就是在計算容斥問題時，先把滿足于某條件各個集合包含的對象的數目先以加和的形式計算出來，也就是“先容”的過程，然后再把計算時計重了的對象數目以減的形式排斥出去，這就是所謂的“后斥”。我們在計數時必須要想辦法保證全面而無重復，這也就是容斥原理的核心思想。

觀察近幾年的公務員考試行測真題，我們發現容斥問題題目條件比較容易出現錯綜復雜的情況，所以在解決容斥問題我們推薦考生朋友們學會借助圖形去解決，即文氏圖。

文氏圖是用封閉曲線內部的區域來表示集合及其集合之間關系的圖形。

例如：

某個班有學生100人，在一次考試中，語文考試達到90分的有70人，數學考試達到90分的有75人。

(1)若該班每名學生在語文、數學兩科目中至少有一科達到90分以上，求兩科都達到90分以上的有多少人?

(2)若不知該班各個個體考得如何，求兩科達到90分以上的最多有多少人?最少有多少人?

如上圖1，圖中A表示語文考試達到90分的人的集合，圖中B表示數學考試達到90分的人組成的集合.

解疑釋惑：

若題目條件如(1)所言，那么上圖1中的A、B、C(黃、綠、紅三塊)則分別表示僅語文達90分以上的集合，僅數學達90分以上的集合和兩科都達 90分以上的集合，因為“該班每名學生在語文、數學兩科目中至少有一科達到90分以上”，所以這三個集合的總數加起來就是全班總人數100。而根據前文所述的容斥原理解題思路“先容后斥”，咱們在計算這題的過程中就可以得到等量關系：

100=70+75-C

所以C=70+75-100=45。

該題如第一問則是相對簡單的情況，給出兩個量，和他們的并集，要求兩者交集的情況就用并集減去總量即可。

若題目條件如(2)所言，想求兩者交集最多，即求C最大的情況，那么，就讓A、B盡量多重疊，極限情況就是A完全容于B，當中，即70人;

而要想求兩者最小，那么就是讓A、B盡量少重疊，極限情況是什么呢?

要想C盡量小，那么A,B之間就要盡量地拉開距離，拉得最開的情況是最后A,B,C三塊占滿整個全集I，此時有C最小，全集I=黃+綠+紅=70+57-C

故兩者交集最小為C=70+75-I=45。

求交集最小的情況，在圖形上直接顯示為集合之間拉得最開，僅限情況是最終各塊占滿整個全集，此時即得交集最小。

對于復雜的容斥問題，我們通過話文氏圖的方式輔助我們分析等量關系，能夠大大提高解題速率，找到題目的突破口，大家一定要勤加練習，好好掌握此種方法。

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