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專業課《數學分析》考研大綱和參考書目

參考教材：《數學分析》(第三版)，華東師范大學數學系編，高等教育出版社

參考用書：《數學分析》(第三版)，陳傳璋等編（復旦大學數學系），高等教育出版社

《數學分析》，復旦大學數學系編，復旦大學出版社

課程的基本內容要求

1、了解實數的概念和性質。理解數集的概念及確界原理。熟練掌握函數的概念、熟練掌握具有某種特性的函數：有界性、單調性、奇偶性、周期性，熟練掌握復合函數、反函數與初等函數的概念。

2、理解數列極限的概念，熟練掌握收斂數列的性質，數列極限存在的條件。理解函數極限的概念，熟練掌握函數極限的性質，理解函數極限存在的條件。掌握函數極限與數列極限之間的關系，函數極限的柯西準則。掌握無窮大量與無窮小量的概念及相關性質。理解函數連續、一致連續的概念，熟練掌握連續函數的性質以及初等函數的連續性。

3、理解導數的概念，熟練掌握求導法則，理解參變量函數的導數及高階導數并掌握其求法。掌握微分的概念及相關計算。

4、理解Roll，Lagrange，Cauchy中值定理，熟練掌握函數單調性的判定方法。熟練掌握求不定式極限的法則。掌握Taylor公式。理解函數極值與最值的概念，掌握函數極值的判別方法與最值的計算。理解函數凸性與拐點的概念并掌握其判定方法。會畫函數圖象。

5、理解實數集完備性的基本定理。

6、理解不定積分的概念，熟練掌握基本積分公式。掌握換元積分和分部積分法。掌握有理函數及可化為有理函數簡單無理函數與三角函數等的不定積分。

7、理解定積分的概念，了解相關的物理與幾何模型。熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式。掌握可積的必要條件，可積的充要條件。掌握定積分的性質及積分中值定理。熟練掌握微積分學基本定理和定積分的計算。了解泰勒公式的積分型余項。

8、掌握定積分在幾何和簡單物理問題中應用的基本方法，能夠應用定積分計算平面面積、體積、平面弧長、功、壓力、引力等。

9、掌握反常積分的概念、無窮積分和瑕積分的性質及收斂性的判別方法。

10、熟練掌握數項級數收斂、絕對收斂與條件收斂的概念、性質，熟練掌握正項級數收斂的判別法，掌握一般項級數收斂的判別法，了解無窮乘積的概念及簡單性質。

11、掌握一致收斂的概念與和性質，熟練掌握函數項級數一致收斂性的判別方法。

12、熟練掌握冪級數與Taylor級數的概念、冪級數的收斂域與和函數的分析性質，熟練掌握常用基本初等函數的冪級數展開。

13、掌握函數展開為傅立葉級數的充分條件，能熟練將以2 及2l為周期的函數展開為傅立葉級數。

14、掌握含參變量積分的概念、性質及判別法。

15、理解平面點集與多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義。掌握二元函數極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質。

16、理解可微性、全微分和偏導數的概念，熟練掌握多元函數可微的條件、幾何意義及其應用。熟練掌握多元復合函數的求導法則及全微分的求法。掌握高階偏導數的概念及求法，了解多元函數中值定理和泰勒公式。理解多元函數極值的概念；掌握多元函數極值的求法。

17、理解隱函數的概念，隱函數存在的條件。掌握隱函數定理和求導方法。了解隱函數組的概念及隱函數組定理。掌握幾何應用。理解條件極值的概念，掌握Lagrange乘數法。

18、理解兩類曲線積分的概念，熟練掌握兩類曲線積分的性質及計算方法。

19、掌握重積分的概念、性質及計算(重點為二重與三重積分)，掌握Green公式，曲線積分與路徑無關的條件。

20、掌握兩類曲面積分的概念、性質及計算方法，熟練掌握Gauss公式與Stokes公式。

注：1、教材(華師大版)中帶“*”及小字部分，是不考的內容；

2、歐拉積分不考。

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