浙江省普通高校“ 2 + 2 ” 選拔聯考科目考試大綱

《高等數學》考試大綱

I.考試要求

適用專業： “ 2 + 2 ” 招生文理各專業

《 高等數學 》 考試大綱包含微積分、線性代數和概率論三個部分。

考試的具體要求依次為了解、理解和掌握、靈活和綜合運用三個層次。

1．了解：要求對所列知識的含義有基本的認識，知道這一知識內容是什么，并在有關的問題中識別它。

2．理解和掌握：要求對所列知識內容有較深刻的理論認識，能夠利用知識解決有關問題。

3．靈活和綜合運用：要求系統地掌握知識的內在聯系，能運用所列知識分析和解決較為復雜的或綜合性的問題。

II.大綱內容

《微積分》部分

一、函數、極限、連續

考試內容：

函數的概念及其表示法/函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性/反函數、復合函數、隱函數、分段函數/基本初等函數的性質及圖形/初等函數/應用問題的函數關系的建立/數列極限與函數極限的概念/函數的左極限和右極限/無窮小和無窮大的概念及其關系/無窮小的基本性質及無窮小的比較/極限四則運算/兩個重要極限/函數連續的概念/函數間斷點的類型/初等函數的連續性/閉區間上連續函數的性質

考試要求：

1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題中的函數關系式。

2．理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。

3．理解復合函數、反函數、隱函數和分段函數的概念。

4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，理解初等函數的概念。

5．了解數列極限和函數極限（包括左、右極限）的概念以及函數極限與左、右極限之間的關系。

6．掌握極限存在時函數的性質與函數極限的四則運算和復合運算法則。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

7．理解無窮小、無窮大的概念和基本性質，掌握無窮小的階的比較方法。

8．理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。

9．了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值與最小值定理和介值定理）并掌握應用這些性質進行相關證明題論證的方法。

二、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念/導數的幾何意義/函數的可導性與連續性之間的關系/導數的四則運算法則/基本初等函數的導數/復合函數的求導法則/反函數和隱函數的求導法則/高階導數/某些簡單函數的n 階導數/微分中值定理及其應用/洛必達法則/函數單調性/函數的極值/函數圖形的凹凸性、拐點/函數斜漸近線和鉛直漸近線/函數圖形的描繪/函數的最大值與最小值

考試要求

1.理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系，了解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程。

2. 掌握用定義法求函數導數值；熟練掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則；熟練掌握反函數與隱函數求導法則以及對數求導法則。

3.了解高階導數的概念，會求二階、三階導數及簡單函數的n 階導數。

4．會求分段函數在分段點上的一階導數值。

5．理解微分的概念，導數與微分之間的關系。

6.理解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件和結論，掌握這三個定理的應用及相關證明題論證的方法。

8.熟練掌握洛必達法則求不定式極限的方法。

9. 熟練掌握函數單調性的判別方法及其應用，熟練掌握函數極值、最大值和最小值的求法（含應用題）。

10. 熟練掌握函數曲線凹凸性和拐點的判別方法，以及函數曲線的斜漸近線和鉛直漸近線的求法。

11.掌握函數作圖的基本步驟和方法，會作某些簡單函數的圖形。

三、一元函數積分學

考試內容

原函數與不定積分的概念/不定積分的基本性質/基本積分公式/不定積分的換元積分法和分部積分法/定積分的概念和基本性質/積分中值定理/變上限積分函數及其導數/牛頓一萊布尼茨公式/定積分的換元積分法和分部積分法/廣義積分的概念和計算/定積分的應用

考試要求

1．理解原函數與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質和基本積分公式；熟練掌握計算不定積分的換元積分法和分部積分法。

2．了解定積分的概念和基本性質。熟練掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法。熟練掌握變上限積分函數的求導公式和含有此類函數的復合求導公式。

4．掌握利用定積分計算平面圖形的面積和繞x軸、繞y軸而成的旋轉體體積的方法，會利用定積分計算函數的平均值。

5．了解廣義積分收斂與發散的概念和條件，掌握計算廣義積分的換元積分法和分部積分法。

四、多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念/二元函數的幾何意義/二元函數的極限和連續的概念/多元函數偏導數和全微分/全微分存在的必要條件和充分條件/多元復合函數、隱函數的求導法/二階偏導數 /二元函數的二階泰勒公式/多元函數極值和條件極值/拉格朗日乘數法/多元函數的最大值和最小值問題及其簡單應用/二重積分的概念及性質/二重積分的計算

考試要求

1、理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。

2、理解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性質。

3、理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分。

4、熟練掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法。

5、掌握二元隱函數的求導法則。

6、了解二元函數的二階泰勒公式。

7、理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件和充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單二元函數的最大值和最小值，熟練掌握求解無條件最值或條件最值應用問題的方法。

8、理解二重積分的概念，了解二重積分的性質。

9、熟練掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標）。

五、無窮級數

考試內容

常數項級數的收斂與發散的概念/收斂級數的概念/級數和的概念/級數的基本性質與收斂的必要條件/幾何級數與P級數及其收斂性/正項級數收斂性的判別法/交錯級數與萊布尼茨定理/任意項級數的絕對收斂與條件收斂/函數項級數的收斂域與和函數的概念/函數及其收斂半徑、收斂區間（指開區間）和收斂域/冪級數的和函數/冪級數在其收斂區間內的基本性質/簡單冪級數的和函數的求法/初等函數的冪級數展開式。

考試要求

1、理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。

2、掌握幾何級數與P級數的收斂與發散的條件。

3、掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法。

4、掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。

5、掌握任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與收斂的關系。

6、了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

7、理解冪級數收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法。

8、了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質（和函數的連續性、逐項微分和逐項積分），會求簡單冪級數在收斂區間內的和函數，并由此求出常數項級數的和。

9、了解函數展開為泰勒級數的必要條件。

10、掌握 α 的麥克勞林展開式。會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

六、常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念/變量可分離的微分方程/齊次微分方程/一階線性微分方程/伯努方程 /線性微分方程解的性質及解的結構定理/二階常系數齊次線性微分方程/簡單的二階常系數非齊次線性微分方程/微分方程的簡單應用。

考試要求

1、了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念。

2、掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3、掌握齊次微分方程、伯努利方程的解法。

4、理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

5、掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

6、會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數的二階常系數非齊次線性微分方程。

《線性代數》部分

一、行列式

考試內容

行列式的概念和基本性質 / 行列式按行（列）展開定理

考試要求

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質。

2．會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。

二、矩陣

考試內容

矩陣的概念 / 矩陣的線性運算 / 矩陣的乘法 / 方陣的冪 / 方陣乘積的行列式 / 矩陣的轉置 / 逆矩陣的概念和性質 / 矩陣可逆的充分必要條件 / 伴隨矩陣 / 矩陣的初等變換 / 初等矩陣 / 矩陣的秩 / 矩陣的等價 / 分塊矩陣及其運算

考試要求

1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質。

2．掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置，以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。

3．理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。

4．掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。

5．了解分塊矩陣及其運算。

三、向量

考試內容

向量的概念 / 向量的線性組合和線性表示 / 向量組的線性相關與線性無關 / 向量組的極大線性無關組 / 等價向量組 / 向量組的秩 / 向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 / 線性無關向量組的正交規范化方法 / 規范正交基 / 正交矩陣及其性質

考試要求

1．理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念。

2．理解向量組線性相關、線性無關的定義，理解向量組線性相關、線性無關的有關性質并會對向量組進行線性相關、線性無關的判別。

3．了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩。

4．了解向量組等價的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關系。

5．掌握線性無關向量組正交規范化的施密特方法。

6．了解正交矩陣的概念，以及它們的性質。

四、線性方程組

考試內容

線性方程組的克萊姆法則 / 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 / 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 / 線性方程組解的性質和解的結構 / 齊次線性方程組的基礎解系和通解 / 非齊次線性方程組的通解

考試要求

1．會用克萊姆法則。

2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。

3．理解齊次線性方程組的基礎解系、通解的概念，熟練掌握齊次線方程組的基礎解系和通解的求法。

4．理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念，熟練掌握非齊次線方程組通解的求法。

5．掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

五、矩陣的特征值和特征向量

考試內容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質 / 相似變換、相似矩陣的概念及性質 / 矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣 / 實對稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角矩陣

考試要求

1．理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法。

2．理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為與之相似的對角矩陣的方法。

3．了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。

六、二次型

考試內容

二次型及其矩陣表示 / 合同變換與合同矩陣 / 二次型的秩 / 慣性定理 /二次型的標準型和規范形 / 用正交變換和配方法化二次型為標準形 / 二次型及其矩陣的正定性

考試要求

1．掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標準形、規范形的概念以及慣性定理。

2．掌握用正交變換化二次型為標準形的方法，會用配方法化二次型為標準形。

了解二次型和對應矩陣的正定性及其判別法。

《概率論》部分

一、隨機事件和概率

考試內容

隨機事件與樣本空間 / 事件的關系與運算 / 完全事件組 / 概率的概念 /概率的基本性質 / 古典型概率 / 幾何型概率 / 條件概率 / 概率的基本公式 / 事件的獨立性 / 獨立重復試驗

考試要求

1．了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件間的關系及運算。

2．理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，熟練掌握計算概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯公式等。

3．理解事件獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算；理解獨立重復試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法。

二、隨機變量及其概率分布

考試內容

隨機變量及其概率分布 / 隨機變量的分布函數的概念及其性質 / 離散型隨機變量的概率分布 / 連續型隨機變量的概率密度 / 常見隨機變量的概率分布 / 隨機變量函數的概率分布

考試要求

1．理解隨機變量及其概率分布的概念；理解隨機變量 X 的概率分布函數

的概念及性質；掌握計算與隨機變量相聯系的事件概率的方法。

2．理解離散型隨機變量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二項分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應用。

3．掌握泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分布近似表示二項分布。

4．理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，熟悉均勻分布、正態分布 、指數分布的概率密度函數，掌握利用均勻分布、正態分布 、指數分布等連續型隨機變量概率密度函數計算相關事件概率的應用問題。

6．掌握根據隨機變量的概率分布求其簡單函數隨機變量概率分布的方法。

三、二維隨機變量及其聯合概率分布

考試內容

二維隨機變量的聯合分布函數 / 離散型二維隨機變量的聯合概率分布、邊緣分布和條件分布 / 連續型二維隨機變量的聯合概率密度、邊緣密度/ 隨機變量的獨立性和相關性 / 常見二維隨機變量的概率分布 / 兩個隨機變量的函數的概率分布

考試要求

1．理解二維隨機變量的聯合分布函數的概念和基本性質。

2．理解二維隨機變量的聯合分布的概念、性質及其兩種基本表達形式：離散型二維隨機變量聯合概率分布和連續型二維隨機變量聯合概率密度。掌握已知兩個隨機變量的聯合分布時分別求它們的邊緣分布的方法。

3．理解隨機變量的獨立性和相關性的概念，掌握隨機變量獨立的條件；理解隨機變量的不相關性與獨立性的關系。

4．掌握二維均勻分布和二維正態分布，理解其中參數的概率意義。

5．掌握根據兩個隨機變量的聯合概率分布求其函數概率分布的方法。

四、隨機變量的數字特征

考試內容

隨機變量的數學期望（均值）、方差、標準差及其性質 / 隨機變量函數的數學期望 / 矩、協方差、相關系數及其性質

考試要求

1．理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數）的概念，并會運用數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布的數字特征。

2．掌握根據隨機變量的概率分布求其函數數學期望的方法；掌握根據兩個隨機變量聯合概率分布求其函數數學期望的方法。

五、大數定律和中心極限定理

考試內容

切比雪夫大數定律 / 伯努利大數定律 / 辛欽大數定律 / 棣莫弗—拉普拉斯定理 / 列維—林德伯格定理

考試要求

1．了解切比雪夫大數定律、伯努利大數定律和辛欽大數定律（獨立同分布隨機變量的大數定律）成立的條件及結論。

2．掌握棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理（二項分布以正態分布為極限分布）、列維—林德伯格中心極限定理（獨立同分布隨機變量列的中心極限定理）的結論和應用條件，并會用相關定理近似計算有關事件的概率。

III.試卷形式及結構

試卷采用閉卷、筆試形式。全卷滿分為150 分，考試時間為 150 分鐘。

試題分選擇題、填空題、計算題、應用題和證明題五種題型。

選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證過程；計算題、應用題和證明題均須寫出文字說明、演算步驟或推證過程。

五種題型分值的百分比大致為：選擇 、填空題 30 % 左右， 計算題 45 % 左右，應用題 17 % 左右， 證明題 8 % 左右。

試卷中微積分、線性代數和概率論三大部分內容的比例大致為：微積分 50 % ，線性代數 25 % ， 概率論 25 % 。

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